MATEMATIKA DISTRIK: LOGIKA PROPOSISI

MATEMATIKA DISTRIK

Matematika distrik adalah cabang matematika yang mempelajari objek distrik
pada dunia teknik infomatika, komputer bekerja secara distrik
informasi yang disimpan dan diolah oleh komputer, dalam bentuk distrik

Manfaat mempelajari Matematika Distirik:

• Mengajarkan berpikir secara matematis
• Menggunakan argumen dan notasi matematika untuk mendeskripsikan suatu masalah secara format
• Landasan matematis untuk bidang lain di ilmu komputer

LOGIKA PROPOSISI

Logiak Proposisi adalah Area logika yang berhubungan dengan preposisi dikembangkan oleh secara sistematis oleh filusuf Yunani, Aristoteles,
Sedangkan kata Proposisi memiliki arti sebuah ekspresi atau pernyataan (kalimat yang menyatakan fakta) yang memiliki nilai benar (true) atau salah (false), tetapi tidak keduanya secara ersamaan,

Indonesia berada di Asia Tenggara (merupakan sebuah proposisi yang bernilai True)
1+1=2 (Merupakan sebuah proposisi yang bernilai True)
2+2=3(Merupakan sebuah proposisi yang bernilai False)
8>10 (Merupakan sebuah proposisi yang bernilai True)
Ini hari apa? (bukan merupakan sebuah proposisi karena ini merupakn kalimat tanya, tidak memiliki sebuah ekspresi atau pernyataan, kalimat yang menyatakan fakta, benar atau salah)
x +1=3 (Menurut kalian ini apa? Apakah sebuah proposisi? Jika iya bernilai false atau true?, Menurut penulis sih ini bukan sebuah proposisi karena kita tidak tahu nilai x itu berap?)
Lihatlah pemangan itu! (Bukan Merupakan sebuah proposisi)
x^2>10 (sama kaya poin ke-6, ini bukan sebuah proposisi)

Konstanta Proposisi

Konstanta Proposisi adalah proposisi yang bernilai tetap setiap saat, terdapat 2 konstanta proposisi; True dan False,

2+2=4 (True)
1 adalah bilangan genap (False)
Jakarta adalah ibukota Indonesia (True)

Variable Proposisi

Variable Proposisi adalah yang bisa bernilai false atau true pada saat yang berbeda, bisa ditulis dengan huruf misal (p,q,r,s,p_1,…)

Hari ini hujan
Hari ini cerah
Saya adalah mahasiswa teknik informatika

Proposisi Atom

Proposisi Atom (Atomic proposition) adalah Proposisi sederhana yang tidak bisa di pecah lagi

Hari ini hujan
Andi adalah karyawan Bank Mandiri
Jakarta adalah ibukota Indonesia

Proposisi Majemuk
Proposisi Majemuk (Compound proposition) adalah proposisi baru yang dibentuk dari proposisi-proposisi yang sudah ada, dengan menggunakan beberapa operator logika

Hari ini hujan tetapi udaranya terasa panas
Hari ini tidak hujan dan udara terasa panas

KONSEP SISTEM INFORMASI

[BELUM SELESAI]

بسم الله الرحمن الرحيم
Baiklah saya tulis artikel ini bertajuk/bersumber mata kuliah saya di perguruan tinggi swasta, dan saya publish ini semata-mata hanya catatan kuliah saya, jika anda menemukan tulissan ini, penulis berharap agar anda mendapatkan Manfaatnya
Nulis apa sih gue?

BAB 1 Konsep Dasar Sistem Informasi

Setelah membaca artikel ini, penulis mengharapkan anda akan mengetahui

• Konsep Informasi dan Sistem Informasi
• Manfaat sistem Informasi
• Sumber daya sistem Informasi
• Manusia sebagai pengolah Informasi
• Aktivitas sistem informasi
• Mengenali sistem Informasi

Matematika Distrik: Logika Proposisi Logika Predikat (Soal dan pembahasan)

Sebelum mengerjakaan soal berikut di bawah ini, anda harus tahu dulu apa itu logika preposisi, logika predikat, hukum-hukum ekivalensi, kuantifier
silahkan pelajari materi-materi tersebut di sini

Soal

1. Tentukan apakah pernyataan-pernyataan berikut adalah sebuah proposisi dan tentukan nilai kebenaraannya
• Surabaya adalah Ibukota Indonesia
• Semarang adalah Ibukota Jawa Tengah
• 3 + 5 = 7
• x + 5 = 8
• x + 1 > x, untuk x adalah himpunan bilangan bulat
2. p merupakan proposisi "Kamu diperbolehkan berenang di pantai Ancol", q adalah proposisi " Hiu Terlihat di pantai Ancol". Terjemakan ekspresi logika berikut ke Bahasa Indonesia sesuai proposisi
• ¬ q
• p Λ ¬ q
• ¬ p → ¬ q
• p → ¬ q
• ¬ p ∧ ( p ∨ ¬ q)
3. Buat Tabel kebenaran dari ( p ∨ q ) → (p ⊕ q)
4. Jelaskan tanpa menggunakan tabel kebenaran mengapa ( p ∨ q ∨ r ) ∧ ( ¬ p ∨ ¬ q ∨ ¬ r ) bernilai benar ketika paling tidak satu dari p , q dan r bernilai benar dan setidaknya satu bernilai False. Tapi akan bernilai False saat ketiganya memiliki nilai True
5. Tentukan apakah ( ¬ p ∧ ( p ∨ q ) ) → q adalah Tautology
6. apakah ekspresi logika berikut ( p ↔ q ) ∧ ( ¬ p ↔ q ) satisfiable? Mengapa?
7. Tunjukan bahwa kedua ekspresi logika berikut adalah ekuivalen secara logika ( p → r ) ∨ ( q → r ) dan ( p ∧ q ) → r . Gunakan Hukm Ekivalensi Logika
8. P(x) adalah x dapat berbahasa inggris dan Q(x) adalah x tahu bahasa pemrograman Java. Ekspresikan kalimat "Semua Mahasiswa di sekolah ini dapat berbahasa inggirs atau tahu bahasa pemrograman Java". Tuliskan Domainnya dan Ekspresi Logikanya
9. Tuliskan Ekspresi logikanya dengan predikat dan Kuantifier : Seorang Pria boleh mengikuti marathon jika waktu terbaiknya kurang dari 3 jam dan Seorang Wanita boleh mengikuti marathon  jika waktu terbaiknya kurang dari 3,5 jam.
10. Tuliskan ekspresi logikanya, kemudian negasinya (negasi berada di sebelah kiri kuantifier), kemudian translasikan negasinya ke bahasa Indonesia (gunakan selain tidak benar bahwa...)
• Ada kuda yang dapat melakukan penjumlahan
11. T(x,y) adalah x berteman dengan y dimana domain x dan y adalah semua manusia yang ada di dunia. Tentukan ekspresi logika
• Semua orang berteman dengan seseorang
• Ada seseorang yang berteman dengan semua orang
12. Terjemahkan ∀x ∀y ∃z ( x = y + z )
13. Tentukan tentukan nilai kebenaran dari ∃x ∀y ( x + y = 1 ) dengan domain bilangan bulat.
14. Tulis negasi dan pindahkan negasi sehingga berada di sebelah kiri kuantifier ∃x ∀y ( P(x,y) → Q(x,y))
15. Apakah ∀x ∃y P(x,y) ekivalen dengan ∃x ∀y P(x,y) ? Berikan alasannya!

Soal asli

download di sini

Pembahasanan

Manusia adalah temepatnya salah dan dosa

1. a. Surabaya adalah ibukota Indonesia adalah sebuah preposisi yang bernilai False

    b. Semarang adalah ibukota Jawa Tengah adalah sebuah preposisi yang bernilai False

    c. 3 + 5 = 7 adalah sebuah preposisi yang bernilai False

    d. x + 5 = 8 adalah bukan sebuah preposisi

    e. x + 1 > x adalah sebuah preposisi yang bernilai True, karena x diketahui sebagai bilangan bulat

2. tuliskan predikat terlebih dahulu

 p = kamu diperbolehkan berenang di pantai Ancol

 q = Hiu terlihat di pantai Ancol

• ¬ q = "Tidak benar bahwa Hiu terlihat di pantai Ancol
• p Λ ¬ q = "Kamu diperbolehkan berenang di pantai Ancol dan tidak benar bahwa hiu terlihat di pantai Ancol"
• ¬ p → ¬ q = "Jika kamu tidak diperboleh berenang di pantai Ancol maka Hiu tidak terlihat di pantai Ancol"
• p → ¬ q = "Jika kamu diperbolehkan berenang di pantai Ancol maka Hiu tidak terlihat di pantai Ancol"
• ¬ p ∧ ( p ∨ ¬ q) = "Kamu diperbolehkan berenang di pantai Ancol dan Hiu tidak terlihat di pantai Ancol atau kamu tidak diperbolehkan berenang di pantai Ancol

3. Tabel Kebenaran ( p ∨ q ) → (p ⊕ q)

4. ( p ∨ q ∨ r ) ∧ ( ¬ p ∨ ¬ q ∨ ¬ r )

jika p, q, r bernilai True maka ( p ∨ q ∨ r ) ∧ ( ¬ p ∨ ¬ q ∨ ¬ r ) akan bernilai False

( p ∨ q ∨ r ) ∧ ( ¬ p ∨ ¬ q ∨ ¬ r )

( T ∨ T ∨ T ) ∧ ( ¬ T ∨ ¬ T ∨ ¬ T )

( T ∨ T ∨ T ) ∧ ( F ∨ F ∨ F )

( T ∨ T ) ∧ ( F ∨ F )

T ∧ F

FALSE

jika salah satu dari p, q, r ada yang bernilai False maka ( p ∨ q ∨ r ) ∧ ( ¬ p ∨ ¬ q ∨ ¬ r ) akan bernilai True. Andaikan p = T, q = F, r = T

( p ∨ q ∨ r ) ∧ ( ¬ p ∨ ¬ q ∨ ¬ r )

( T ∨ T ∨ T ) ∧ ( ¬ T ∨ ¬ F ∨ ¬ T )

( T ∨ T ∨ T ) ∧ ( F ∨ T ∨ F )

( T ∨ T ) ∧ ( T ∨ F )

T ∧ T

TRUE

5. ( ¬ p ∧ ( p ∨ q ) ) → q adalah Tautology?

Tautology adalah semua bernilai True

dengan Tabel kebenaran 

6. Satisfiablekah ( p ↔ q ) ∧ ( ¬ p ↔ q ) Andaikan p bernilai True dan q bernilai False

( p ↔ q ) ∧ ( ¬ p ↔ q )

( T ↔ F ) ∧ ( ¬ T ↔ F )

( T ↔ F ) ∧ ( F ↔ F )

F ∧ T                                       T suatu Interperensi

False

Terbukti Satsfiable karena satu Interperensi | yang membuat F bernilai True

7. apakah Ekivalen ( p → r ) ∨ ( q → r ) dan ( p ∧ q ) → r ?

dengan Hukum Ekivalensi Logika

( p → r ) ∨ ( q → r ) ≡ ( p ∧ q ) → r

( ¬ p ∨ r ) ∨ ( ¬ q ∨ r ) ≡ ( p ∧ q )                        (Ekivalensi Implikasi) sebelah kiri

( ¬ p ∨ r ∨ ¬ q ∨ r ) ≡ ( p ∧ q ) → r                      (Asosiatif) Sebelah kiri

( ¬ p ∨ ¬ q ) ∨ ( r ∨ r ) ≡ ( p ∧ q ) → r                 (Komutatif) Sebelah kiri

( ¬ p ∨ ¬ q ) ∨ r  ≡ ( p ∧ q ) → r                          (Indempoten) Sebelah kiri

¬ ( p ∨ q ) ∨ r  ≡ ( p ∧ q ) → r                             (de morgen) Sebelah kiri

¬ ( p ∨ q ) ∨ r  ≡ ¬ ( p ∨ q ) ∨ r                           (Ekivalensi Implikasi) Sebelah kanan

Jadi ( p → r ) ∨ ( q → r ) terbukti ekuivalen terhadap ( p ∧ q ) → r pembuktiaannya diatas

8. Predikat

P(x) adalah x dapat berbahasa Inggris

Q(x) adalah x tahu bahasa pemrograman Java

Domain

Dx = { x | x adalah Mahasiswa di Kelas ini}

Ekspresi Logika

∀x ( P(x) ∨ Q(x) )

9. Predikat

g(x) adalah x Pria boleh mengikuti marathon

h(x) adalah x Wanita boleh mengikuti marathon

i(x) adalah x Waktu terbaiknya kurang dari 3 jam

j(x) adalah x Waktu terbaiknya kurang dari 3,5 jam

Domain 

Dx = { x | x adalah Orang }

Ekspresi Logika Predikat

∃x (( i(x) → g(x) ) ∧ ( j(x) → k(x) )

10. Predikat

h(x) adalah x dapat melakukan penjumlahan

Domain

Dx = { x | x adalah Kuda }
klik button dibawah ini untuk melihat jawabannya

11. T(x,y) adalah x berteman dengan y   

Domain

Dx,y = x dan y adalah semua manusia yang ada di dunia ini

• Semua orang berteman dengan seseorang
• ∀x ∃y ( T(x,y) )
• Ada Seseorang yang berteman dengan semua orang
• ∃x ∀y T(x,y)

12. Semua x adalah hasil penjumlahan dari semua y  dan beberapa z

13. Dx,y = x dan y adalah bilangan bulat

∀x = adalah Semua bilangan bulat

∃y ≡ ¬ ∀y = bukan bilangan bulat

andaikan x = (-2)³ dan y = 9
∃y ∀y (x + y = 1 )
(-2)³ + 9 = 1

14.  ∃x ∀y ( P(x,y) → Q(x,y)) negasi berada di sebelah kiti kuantifier
∃x ∀y ( P(x,y) → Q(x,y))
¬ ∃x ∀y ( P(x,y) → Q(x,y))
∀y ¬ ∀y ( P(x,y) → Q(x,y))
∀y ∃y ¬ ( P(x,y) → Q(x,y))

15. tidak ekuivalen, karena
for all x tidak ekuivalen dengan for some x dan
for some y tidak ekuivalen dengan for all y

atau untuk download jawaban pdf klik button dibawah ini

download di sini